题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），OH⊥AB于H点．试求点H的轨迹方程．
（Ⅰ）由题意知：e=
c
a
=
1
2
，a-c=1，a2=b2+c2，解得a=2，b2=3．
故椭圆的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
（1）若l⊥x轴，可设H（x0，0），因OA⊥OB，则A（x0，±x0）．由
x02
4
+
x02
3
=1，得
x20
=
12
7
，即H(±
12
7
，0)．
若l⊥y轴，可设H（0，y0），同理可得H(0，±
12
7
)．
（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设l：y=kx+m，
由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
则x1+x2=-
8km
3+4k2
，x1x2=
4m2-12
3+4k2
．y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
3m2-12k2
3+4k2
．由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=0．故 
4m2-12
3+4k2
+
3m2-12k2
3+4k2
=0，即7m2=12（k2+1）（记为①）．
由OH⊥AB，可知直线OH的方程为y=-
1
k
x．联立方程组
y=kx+m
y=-
1
k
x
，得 
k=-
x
y
m=
x2
y
+y
（记为②）．将②代入①，化简得x2+y2=
12
7
．综合（1）、（2），可知点H的轨迹方程为x2+y2=
12
7
．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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