Question

如图，已知：椭圆的中心为，长轴的两个端点为，右焦点为，．若椭圆经过点，在上的射影为，且△的面积为5．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知圆：=1，直线=1，试证明：当点在椭圆上
运动时，直线与圆恒相交；并求直线被圆截得的弦长的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析，弦长的取值范围为[]

试题分析：（Ⅰ）由题意设椭圆方程为，半焦距为，
由，且∴ ，得.（1）
由题意，设点坐标，在上，代入得 ∴． 由△ABC的面积为5，得，=5.（2）
解（1）（2）得 ∴=9—4=5．
∴所求椭圆的方程为：．                                ……6分
(Ⅱ) 圆到直线=1距离，
由点在椭圆上，则，
显然，∴1，>1,
∴，
而圆的半径为1，直线与圆恒相交．                              ……12分
弦长=2=2,由得，
∴, =2,
，∴，，∴ ，
弦长的取值范围是[]．                                    ……16分
点评：判断直线与圆的位置关系，首先要用圆心到直线的距离和半径比较大小，而不要用代数法，另外弦长公式运算比较复杂，要仔细计算.