Question

【题目】如图（1），在平面五边形中，已知四边形为正方形，为正三角形.沿着将四边形折起得到四棱锥，使得平面平面，设在线段上且满足，在线段上且满足，为的重心，如图（2）.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，的中点，连接，可知三点共线，三点共线.，因而可得为的重心，再利用线面平行的判定，及可证出；

（2）根据条件，通过面面垂直的性质，证出平面，建立空间直角坐标系，标点，求及平面的法向量为，通过利用空间向量法求出线面角.

（1）如图，取的中点，的中点，连接.

由已知易得三点共线，三点共线.

因为，，所以.

又为的重心，所以，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）在中，因为为的中点，所以.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

由（1）得，.

所以两两垂直，如图，

分别以射线的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.

设，因为，，所以，

所以，.

所以，，，.

所以，，.

设平面的法向量为，则

所以令，则，所以可取.

设直线与平面所成的角为，则

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