Question

设函数
（1）若时，函数有三个互不相同的零点，求的取值范围；
（2）若函数在内没有极值点，求的取值范围；
（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：（1）时，，有三个互不相同的零点，即有三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，求函数的极值，从而确定的取值范围；
（2）要使函数在内没有极值点，只需在上没有实根即可，即的两根或不在区间上；
（3）求导函数来确定极值点，利用的取值范围，求出在上的最大值，再求满足时的取值范围．
（1）当时，.
因为有三个互不相同的零点，所以，即有三个互不相同的实数根.
令，则.
令，解得；令，解得或.
所以在和上为减函数，在上为增函数.
所以，.
所以的取值范围是.
（2）因为，所以.
因为在内没有极值点，所以方程在区间上没有实数根，
由，二次函数对称轴，
当时，即，解得或，
所以，或（不合题意，舍去），解得.
所以的取值范围是；
（3）因为，所以或，且时，，.
又因为，所以在上小于0，是减函数；
在上大于0，是增函数；
所以，而，
所以，
又因为在上恒成立，所以，即，即，在上恒成立.
因为在上是减函数，最小值为-87.
所以，即的取值范围是.