Question

已知函数，其中a，b∈R
(1)当a＝3，b＝－1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为2x－3y－e＝0(e＝2.71828 为自然对数的底数)，求a，b的值；
(3)当a＞0，且a为常数时，若函数h(x)＝x[f(x)＋lnx]对任意的x₁＞x₂≥4，总有成立，试用a表示出b的取值范围.

Answer 1

(1)；(2)；(3)时，，时，

试题分析：(1)利用导数判断出函数的单调性，即可求出的最小值；(2)要注意给出某点处的切线方程，就既有该点的坐标，也有该点出切线的斜率，利用这两个条件可求出a与b的值；(3)解决本题的关键是由“对任意的x₁＞x₂≥4，总有成立”转化出“在上单调递增”，从而再次转化为导函数大于0的问题求解.解题过程中要注意对参数的合理分类讨论.
试题解析：(1)当a＝3，b＝－1时，
∴
∵x＞0，∴0＜x＜时f  '(x)＜0，x＞时，f '(x)＞0
即在上单调递减，在上单调递增
∴在处取得最小值
即          4分
(2)∵
∴  (1)
又切点(e，f(e))在直线2x－3y－e＝0上
∴切点为
∴  (2)
联立(1)(2)，解得.          8分
(3)由题意，对任意的x₁＞x₂≥4，总有成立
令
则函数p(x)在上单调递增
∴在上恒成立
∴在上恒成立          10分
构造函数
则
∴F(x)在上单调递减，在上单调递增
(i)当，即时，F(x)在上单调递减，在上单调递增
∴
∴，从而          12分
(ii)当，即时，F(x)在(4，＋∞)上单调递增
，从而          13分
综上，当时，，时，      14分