Question

已知f(log2x)=

x2-2x+1

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象，并求出单调区间；
（3）讨论f（x）与f（x+1）的大小．

Answer 1

分析：（1）根据f(log2x)=

x2-2x+1

=|x-1|，利用换元法令t=log₂x，则x=2^t，代入f(log2x)=

x2-2x+1

，即可求得f（x）的解析式；
（2）根据（1），利用函数图象 的平移和对称变换画出画出f（x）的图象，并根据图象求出单调区间；
（3）令f（x）=f（x+1）求出x的值，分三种情况讨论f（x）与f（x+1）的大小．

解答：解：（1）f(log2x)=

x2-2x+1

=|x-1|，
令t=log₂x，则x=2^t，
∴f（t）=|2^t-1|，
即f（x）=|2^x-1|；
（2）根据函数图象知，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（3）f（x+1）=|2^x+1-1|；
1°当x＞log₂

2

3

时，有|2^x+1-1|＞|2^x-1|，即f（x）＜f（x+1）；
2°当x=log₂

2

3

时，有|2^x+1-1|=|2^x-1|，即f（x）=f（x+1）；
3°当x＜log₂

2

3

时，有|2^x+1-1|＜|2^x-1|，即f（x）＞f（x+1）．

点评：此题是个中档题．考查了利用换元法求函数解析式和函数图象的变换，体现了数形结合的思想，以及学生分析解决问题的能力．