Question

已知f(log2x)=ax2-2x+1-a，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的方程f（x）=（a-1）•4^x
（3）设h（x）=2^-xf（x），a≥

1

2

时，对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有|h(x1)-h(x2)|≤

a+1

2

成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令log₂x=t即x=2^t，从而求出f（t）的解析式，最后将t用x替换即可求出所求；
（2）将f（x）=（a-1）•4^x进行配方得（2^x-1）²=a，讨论a可得方程的解的情况；
（3）将“对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有|h(x1)-h(x2)|≤

a+1

2

成立”转化成“当x∈[-1，1]时，hmax-hmin≤

a+1

2

恒成立”讨论研究函数h（x）的最值，从而求出a的取值范围．

解答：解：（1）令log₂x=t即x=2^t，则f（t）=a•（2^t）²-2•2^t+1-a，
即f（x）=a•2^2x-2•2^x+1-a，x∈R，
（2）由f（x）=（a-1）•4^x化简得：2^2x-2•2^x+1-a=0即（2^x-1）²=a，
当a＜0时，方程无解，
当a≥0时，解得2x=1±

a

，
若0≤a＜1，则x=log2(1±

a

)，
若a≥1，则x=log2(1+

a

)，
（3）对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有|h(x1)-h(x2)|≤

a+1

2

成立，等价于
当x∈[-1，1]时，hmax-hmin≤

a+1

2

，h(x)=a•2x+

1-a

2x

-2，
令2^x=t，则y=at+

1-a

t

-2，t∈[

1

2

，2]，
令g(t)=at+

1-a

t

-2，t∈[

1

2

，2]，
①当a≥1时，g(t)=at+

1-a

t

-2，t∈[

1

2

，2]单调递增，
此时g(t)max=g(2)=

3(a-1)

2

，g(t)min=g(

1

2

)=-

3a

2

，g(t)max-g(t)min=

6a-3

2

≤

a+1

2

即a≤

4

5

（舍），
②当

4

5

≤a＜1时，g(t)=at+

1-a

t

-2，t∈[

1

2

，2]单调递增
此时g(t)max=g(2)=

3(a-1)

2

，g(t)min=g(

1

2

)=-

3a

2

，g(t)max-g(t)min=

6a-3

2

≤

a+1

2

即a≤

4

5

∴a=

4

5

，
③当

1

2

≤a＜

4

5

时，g(t)=at+

1-a

t

-2，t∈[

1

2

，2]
在[

1

2

，

1 a -1

]上单调递减，在[

1 a -1

，2]上单调递增
且g(2)≥g(

1

2

)∴g(t)max=g(2)=

3(a-1)

2

，g(t)min=g(

1 a -1

)=2

a(1-a)

-2，
∴g(t)max-g(t)min=

3(a-1)

2

-(2

a(1-a)

-2)≤

a+1

2

即a≤

4

5

，
∴

1

2

≤a＜

4

5

，
综上：

1

2

≤a≤

4

5

．

点评：本题是一道综合题，主要考查了函数的解析式，解指数方程，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．