Question

已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上若这两个正四棱锥的体积之比为1：2，则该球的表面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据两个正四棱锥有公共底面，可得棱锥高之和即为球的直径，结合底面边长为4，则底面截球所得圆的半径为2，结合勾股定理求出球半径可得球的面积．
解答：解：∵两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为1：2，
∴两个正四棱锥的高的比也为1：2
设两个棱锥的高分别为X，2X，球的半径为R
则X+2X=3X=2R
即R=
球心到那个公共底面距离是，
又∵底面边长为4
∴R²=（）²=（）²+2²，
解得x=
∴R=
该球的表面积S=4πR²=36π
故答案为：36π
点评：本题给出两个正四棱锥有公共的底面，求外接球表面积，考查了正四棱锥的性质和球内接多面体等知识点，属于中档题