Question

已知两个正三棱锥有公共底面，且内核锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正三棱锥的侧棱长之比为

3

：1，则这两个三棱锥的公共底面的面积与该球的表面积之比为

9

3

：64π

．

Answer 1

分析：设正三棱锥D-ABC与正三棱锥F-ABC公共的底面为正△ABC，则△ABC的中心E就是平面ABC截球得小圆的圆心，顶点D、F的连线为球直径，DF经过E点且DF⊥平面ABC．设BF=m，则Rt△BDF中，可得DF=2m，得到球半径R=m，斜边DF上的高BE=

3

2

m．进而算出正△ABC边长为

3

2

m．由此不难算出正△ABC面积与球的表面积之比．

解答：解：如图所示，设正三棱锥D-ABC与正三棱锥F-ABC公共的底面为正△ABC，
则△ABC的中心E就是平面ABC截球得小圆的圆心，
顶点D、F的连线为球的直径，DF经过E点且DF⊥平面ABC．
设球的半径为R，BF=m，则BD=

3

m，
∴Rt△BDF中，DF=

BF2+BD2

=2m
斜边DF上的高BE=

BD•BF

BD

=

3

2

m
∵正△ABC中，BE=

3

3

AB，∴AB=

3

BE=

3

2

m
由此可得正△ABC面积S=

3

4

AB²=

9 3

16

m²，
球半径R=

1

2

DF=m，得球的表面积为S_球=4πR²=4πm²．
∴S_△ABC：S_球=

9 3

16

m²：4πm²=9

3

：64π
故答案为：9

3

：64π

点评：本题给出两个正三棱锥有公共的底面，在已知侧棱长之比的情况下，求底面积与外接球表面积之比．考查了正三棱锥的性质和球内接多面体等知识点，属于中档题．