题目内容

（2012•上海二模）已知x轴上的点A1，A2…，An满足
.
AnAn+1
=
1
2
.
An-1An
（n≥2，n∈N*），其中A1（1，0），A2（5，0）；点B1，B2，…Bn，…在射线y=x（x≥0）上，满足|
.
OBn+1
|=|
.
OBn
|+2
2
 （n∈N*），其中B1（3，3）．
（1）用n表示点An与Bn的坐标；
（2）设直线AnBn的斜率为kn，求
lim
n→∞
kn的值；
（3）求四边形AnAn+1Bn+1Bn面积S的取值范围．
分析：（1）根据
.
AnAn+1
=
1
2
.
An-1An
，可得xn+1-xn=
1
2
(xn-xn-1)，从而可得{xn-xn-1}是以4为首项，
1
2
为公比的等比数列；利用射线y=x（x≥0）上，满足|
.
OBn+1
|=|
.
OBn
|+2
2
 （n∈N*），可得{xn}是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可用n表示点An与Bn的坐标；
（2）确定直线AnBn的斜率为kn=
2n+1
2n-8+24-n
，从而可求
lim
n→∞
kn的值；
（3）四边形AnAn+1Bn+1Bn面积S=
1
2
（9-23-n）（2n+3）-
1
2
(9-24-n)(2n+1)=(n-
1
2
)×23-n+9，确定函数的单调性，从而可求四边形AnAn+1Bn+1Bn面积S的取值范围．
解答：解：（1）由题意，xn+1-xn=
1
2
(xn-xn-1)
∵A1（1，0），A2（5，0），∴x2-x1=4
∴{xn-xn-1}是以4为首项，
1
2
为公比的等比数列
∴xn-xn-1=4×(
1
2
)n-1
∴xn=x1+（x2-x1）+…+（xn-xn-1）=1+4+…+4×(
1
2
)n-1=9-24-n
∴An（9-24-n，0）；
∵射线y=x（x≥0）上，满足|
.
OBn+1
|=|
.
OBn
|+2
2
 （n∈N*），
∴
2
xn+1=
2
xn+2
2

∴xn+1-xn=2
∵B1（3，3）．
∴{xn}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴xn=2n+1
∴Bn（2n+1，2n+1）；
（2）设直线AnBn的斜率为kn=
2n+1
2n-8+24-n
，∴
lim
n→∞
kn=
lim
n→∞
2n+1
2n-8+24-n
=1；
（3）四边形AnAn+1Bn+1Bn面积S=
1
2
（9-23-n）（2n+3）-
1
2
(9-24-n)(2n+1)=(n-
1
2
)×23-n+9
设an=(n-
1
2
)×23-n+9，则an+1=(n+
1
2
)×22-n+9
∵an+1-an=[(n+
1
2
)×22-n+9]-[(n-
1
2
)×23-n+9]=
3-2n
4
×23-n
∴a2＞a1，a2＞a3＞a4＞a5＞…
∴a2最大，为12
∴四边形AnAn+1Bn+1Bn面积S的取值范围为（-∞，12]．
点评：本题考查数列的证明，考查数列通项的求解，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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1
5
，
5
5
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14
14
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