Question

已知曲线C₁：y=x²与C₂:y=?-(x-2)²,若直线l与C₁、C₂都相切，求直线l的方程.

      

Answer 1

解法一：设直线l与两曲线的切点的坐标分别为A(a,a²),B(b,-(b-2)²).?

       因为两曲线对应函数的导函数分别为y₁′=2x,y₂′=-2(x-2).?

       所以在A、B两点处直线的斜率分别为y₁′|_x=a=2a,y₂′|_x=b=-2(b-2).?

       由题意=2a=-2b+4,?

       即解得

       所以A(2,4)或(0,0)，切线的斜率k=4或0，?

       从而切线方程为y=4x-4或y=0.?

解法二：设l与C₁、C₂的切点的横坐标分别为a、b，直线l的斜率为k.?

       根据题意y₁′=2x,y₂′=-2(x-2),y₁′|_x=a=2a,y₂′|_x=b=-2(b-2).?

       由k=2a=-2b+4,得a=,b=.?

       设l与C₁、C₂的切点坐标分别为(),(),则k=.   解得k=0或4.?

       故所求切线方程为y=4x-4或y=0.