题目内容

若椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是______．
设椭圆上点为（acosθ，bsinθ）
其到上顶点距离的平方为（acosθ）2+（b-bsinθ）2=a2+b2-2b2sinθ-c2（sinθ）2
若
b2
c2
≤1，则最大值为a2+b2+
b4
c2
=
a4
c2

所以此时椭圆上点到上顶点距离恰好是中心到准线距离，
所以e的范围满足
b2
c2
≤1，
即：c2≥b2=a2-c2
2c2≥a2
∴
2
2
≤e＜1
若
b2
c2
＞1，则最大值为4b2，它要等于
a4
c2

a4=4c2（a2-c2）
所以a2=2c2，此时b2=c2，舍去
故答案为[
2
2
，1)
练习册系列答案
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若椭圆
x2
a2
+y2=1（a＞0）的一条准线经过抛物线y2=-8x的焦点，则该椭圆的离心率为（　　）
A、
1
2
B、
1
3
C、
3
2
D、
2
2
若椭圆
x2
a2
+y2=1(a＞0)与双曲线
x2
2
-y2=1有相同的焦点，则a=
2
2
．
（2011•西城区一模）双曲线C：
x2
2
-y2=1的离心率为
6
2
6
2
；若椭圆
x2
a2
+y2=1(a＞0)与双曲线C有相同的焦点，则a=
2
2
．
若椭圆
x2
a2
+y2=1（a＞0）的一条准线经过抛物线y2=-8x的焦点，则该椭圆的离心率为（　　）
A．
1
2
B．
1
3
C．
3
2
D．
2
2
双曲线C：
x2
2
-y2=1的离心率为______；若椭圆
x2
a2
+y2=1(a＞0)与双曲线C有相同的焦点，则a=______．

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