Question

【题目】已知椭圆的离心率为，过定点的直线l与椭圆E相交于A，B两点，C为椭圆的左顶点，当直线l过点时，（O为坐标原点）的面积为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）求证：当直线l不过C点时，为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）为定值.

【解析】

（1）根据题意可得，设，，由，得代入椭圆方程可得，进而可得椭圆的方程；

（2）根据题意，设，，直线的方程为，联立方程，经计算可得，即可得到为定值.

（1）由题意，设，，直线的方程为，

由，即，

将点代入中，得，故，

又点在椭圆上，解得，

因椭圆的离心率，故，，

所以，椭圆的方程为.

（2）由题意，设直线的方程为，设，，

联立，消去得，

所以，，

当直线不过时，直线的斜率，直线的斜率，

所以，

即直线与直线垂直，故为定值.