Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（3）当时，试写出方程根的个数.(只需写出结论)

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）2

【解析】

（1）当时，，，求出，，结合导数的几何意义，可求出曲线在点处的切线方程；

（2），由在区间上单调递增，可知在恒成立，进而可知在恒成立，构造函数，求出在上的最小值，令即可；

（3）构造函数，讨论的单调性，并结合零点存在性定理，可得到的零点个数，即为方程根的个数.

（1）当时，，则，

所以，，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2）由题意，，

因为在区间上单调递增，所以在恒成立，

即在恒成立，

令，，则，

所以时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增，

所以在上最小值为，

所以.

（3）当时，方程根的个数为2.

证明如下：

当时，，构造函数，

则，显然在上单调递增，

因为，，所以存在唯一零点，设为，

故函数在上单调递减，在上单调递增，

因为，所以，所以在上存在唯一零点

又因为，所以在上存在唯一零点，

故函数有2个零点，即方程根的个数为2.