Question

如图,点A、B分别是椭圆=1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.

(1)求点P的坐标;

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

Answer 1

1、P(,).

2、d_最小=.

解析:

(1)由条件A(-6,0),F(4,0).

设P(x,y).

∴=(x+6,y),=(x-4,y).

∵⊥,

∴0=(x+6)(x-4)+y²,即x²+2x-24+y²=0.                                           ①

结合+=1,                                                              ②

解得x=或-6,代入①解得y=±或0.

∴P(,±).

又点P在z轴上方,∴所求P(,).

(2)由两点式得直线AP:x-y+6=0.

(不妨取x轴上方的P点)

设M(m,0),|MB|=6-m.

由题意6-m=,解得m=2或18(舍去).

∴M(2,0).

设椭圆上任一点P(x,y),

d²=MP²=(x-2)²+y²=(x-2)²+20-x²

=x²-4x+24=(x-)²+15.

∵-6≤x≤6,取x=得

d_最小²=15.此时d_最小=.