Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率e=．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，点D（0，-1），当|DM|=|DN|时，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出椭圆的方程，依据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而根据长轴的长和a，b和c的关系求得a和b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）把直线方程与椭圆方程联立，根据直线与椭圆有两不同交点判断出判别式大于0求得m和k的不等式关系，先看当k≠0时，设弦MN的中点为P（x_P，y_P），可分别表示出x_P和y_P，则直线的斜率可知，通过|DM|=|DN|判断出DP⊥DM，利用斜率之积为-1求得k和m的关系式，代入k和m的不等式关系中求得m的范围；再看当k=0时，直接利用k和m的不等式关系求得m的范围，最后取并集答案可得．
解答：解：椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），
由已知得，
解得a=
∴所求椭圆C的方程为=1

（II）由得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m²＜3k²+1①
（1）当k≠0时，设弦MN的中点为P（x_P，y_P），x_M，x_N分别为点M、N的横坐标，
则x_P=，从而y_P=kx_P+m=，k_DP=
又|DM|=|DN|，∴DP⊥MN，则-，即2m=3k²+1，②
将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得k2=＞0，解得m＞，故所求的m取值范围是（，2）
（2）当k=0时，|DM|=|DN|，∴DP⊥MN，则m²＜3k²+1，解得，-1＜m＜1，
综上所述，m的取值范围是（-1，2）．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．