Question

已知点A（-2，3）在抛物线C：y²=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  4

• D、

  4

  3

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意先求出准线方程x=-2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．

解答：解：∵点A（-2，3）在抛物线C：y²=2px的准线上，
即准线方程为：x=-2，
∴p＞0，-

p

2

=-2即p=4，
∴抛物线C：y²=8x，在第一象限的方程为y=2

2

x

，
设切点B（m，n），则n=2

2

m

，
又导数y′=2

2

•

1

2

•

1

x

，则在切点处的斜率为

2

m

，
∴

n-3

m+2

=

2

m

即

2

m+2

2

=2

2

m-3

m

，
解得

m

=2

2

（-

2

2

舍去），
∴切点B（8，8），又F（2，0），
∴直线BF的斜率为

8-0

8-2

=

4

3

，
故选D．

点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．