Question

函数f(x)=lg[x-1+

(x-1)2+1

]的图形（　　）

A．关于（0，0）点对称

B．关于y轴对称

C．关于（1，0）点对称

D．关于直线x=1对称

Answer 1

分析：先判断函数的定义域，然后通过换元法设t=x-1，则证明函数y=g（t）=lg(t+

t2+1

)为奇函数，然后根据函数y=g（t）与y=f（x）的关系确定对称性．

解答：解：因为

(x-1)2+1

＞

(x-1)2

=|x-1|，所以若x-1＞0，则x-1+

(x-1)2+1

＞0．
若x-1≤0，则

(x-1)2+1

＞

(x-1)2

=|x-1|=-(x-1)，所以x-1+

(x-1)2+1

＞0．
所以函数的定义域为R，所以定义域关于原点对称．
设t=x-1，则y=g（t）=lg(t+

t2+1

)，
则g(-t)=lg(-t+

t2+1

)=lg

1

t+ t2+1

=-lg(t+

t2+1

)=-g(t)，
所以函数g（t）是奇函数，所以函数g（t）的图象关于原点对称，
所以g（x-1）的图象关于原点对称，所以函数f（x）的图象关于（1，0）点对称．
故选C．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用换元法，然后利用对数函数的性质确定函数的图象的特点．