某地有三家工厂.分别位于矩形ABCD的顶点A.B及CD的中点P处.已知AB=20km.BC=10km.为了处理三家工厂的污水.现要在矩形ABCD的区域上.且A.B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂.并铺设排污管道AO.BO.OP.设排污管道的总长为ykm. (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad).将y表示成θ的函数关系式, � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

(本题满分14分)

某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；

②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短

【解析】本小题主要考查函数最值的应用．

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故

，又OP＝，

所以，

所求函数关系式为

②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=

所求函数关系式为

（Ⅱ）选择函数模型①，

令0 得sin ，因为，所以=，

当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。

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