Question

【题目】已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、D1C的中点，AD=AA1 ， AB=2AD
（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1
（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，设AD=1，则AB=2．∵DC⊥平面ADD1A1 ， ∴ =（0，2，0），就是平面ADD1A1的一个法向量．
，∴ ，∴ =0，
∴ ，∴ ．
（Ⅱ）设平面DMN的一个法向量为 ．
∴ ，∴ ．
取 = ．
∴sinθ= = ．
所以直线DA与平面ADD1A1 ， 所成角的正弦位值是 ．

【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系，设AD=1，则AB=2．由DC⊥平面ADD1A1 ， 可得 是平面ADD1A1的一个法向量．证明 =0，即可证明 ．（2）设平面DMN的一个法向量为 =（x，y，z）．利用 ，可得 ．利用sinθ= 即可得出．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．