Question

8．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）直线D₁C与平面AC所成的角；
（2）直线D₁B与平面AC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由D₁D⊥平面ABCD，D是垂足，得∠DCD₁是直线D₁C与平面ABC所成角，由此能求出直线D₁C与平面ABC所成角的大小．
（2）根据正方体的边和面的关系，连接BD，从而∠D₁BD为D₁B和平面ABCD所成的角，可设正方体的边长为1，这样在Rt△BDD₁中求出cos∠D₁BD即可．

解答 解：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵D₁D⊥平面ABCD，D是垂足，
∴∠DCD₁是直线D₁C与平面ABC所成角，
∵DD₁⊥DC，且DD₁=DC，
∴∠DCD₁=45°．
∴直线D₁C与平面ABC所成角的大小等于45°．
（2）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接BD，DD₁⊥平面ABCD，
则：∠D₁BD为直线D₁B和平面ABCD所成角；
设正方体的边长为1，则D₁B=$\sqrt{3}$
∴cos∠D₁BD=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面角的大小的求法，考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查计算能力，作图能力，是基础题．