Question

17．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，F为线段PC上一点，E为线段PB上一点，PA=AB=2，AC=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，则当AF+FE取最小值时，AE与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{3\sqrt{19}}{19}$．

Answer 1

分析 沿PB展开，使得A，F，E共面，则AE⊥PB时，AF+FE最小，求出AE，过P作AG⊥PC，则AG⊥平面PBC，∠AEG为AE与平面PBC所成角．

解答 解：沿PB展开，使得A，F，E共面，则展开图中，AE⊥PB时，AF+FE最小，此时
cos∠CPD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sin∠CPD=$\frac{1}{3}$，∠CPA=30°，
∴cos∠APE=cos（∠CPD+30°）=$\frac{3\sqrt{2}-1}{6}$，
∴PE=$\frac{3\sqrt{2}-1}{3}$
由余弦定理可得AE=$\frac{\sqrt{19}}{3}$
∵PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，
∴PC⊥BC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，
过P作AG⊥PC，则AG⊥平面PBC，∠AEG为AE与平面PBC所成角，
∵PA=2，AC=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴PC=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
由等面积可得2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$AG，∴AG=1，
∴AE与平面PBC所成角的正弦值=$\frac{AG}{AE}$=$\frac{3\sqrt{19}}{19}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{19}}{19}$．

点评 本题考查线面角，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键．