题目内容

设椭圆C:=1(a＞b＞0)过点(1,),F1、F2分别为椭圆C的左、右两个焦点,且离心率e=.

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F2与椭圆C交于M、N两点.若AM,AN的斜率k1,k2满足k1+k2=,求直线l的方程;

(3)已知P是椭圆C上位于第一象限内的点,△PF1F2的重心为G,内心为I,求证:GI∥F1F2.

解:(1) 得∴椭圆的标准方程为=1.

(2)由(1)得F2(1,0),A(-2,0).

若直线l与x轴垂直,则k1+k2=0,不合题意;

设直线l为y=k(x-1)(k≠0),设直线与椭圆的交点坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2).

由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

Δ=9k2-9＞0,得k＞1或k＜-1,

x1+x2=,x1·x2=,

y1+y2=k(x1+x2-2)=k(-2)=,

∵k1=,k2=,

∴k1+k2=+=

=,

∴x1y2+x2y1=.

∵x1y2+x2y1=x1［k(x2-1)］+x2［k(x1-1)］=,

∴,k=2,符合k＞1.

故所求直线MN的方程为y=2(x-1).

(3)证明:设PI交F1F2于Q,则,,

∴.∴=2.∴,IG∥F1F2.

练习册系列答案
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(A) (B) (C) (D)

 

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(3)已知P是椭圆C上位于第一象限内的点，△PF1F2的重心为G，内心为I，求证：IG∥F1F2.

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