题目内容
6．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率是（ ）| A． | $\sqrt{5}$-1 | B． | $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ | D． | $\sqrt{3}$+1 |
分析 由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得$\frac{1}{2}$•2b•2c=$\frac{1}{2}$a•4$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
解答 
解：由题意可得A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，-b），
F1（-c，0），F2（c，0），
且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的边长为$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，
由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．
由面积相等，可得$\frac{1}{2}$•2b•2c=$\frac{1}{2}$a•4$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，
即为b2c2=a2（b2+c2），
即有c4+a4-3a2c2=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e4-3e2+1=0，
解得e2=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
可得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，或e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（舍去）．
故选：A．
点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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如甲图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起到△D1AE位置，使平面D1AE⊥平面ABCE，得到乙图所示的四棱锥D1-ABCE．
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=CD=1，P是AB的中点，则$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AB}$=-1．
如图，已知四棱锥P-ABCD是边长为1的正方形，PB=PD=$\sqrt{5}$，PC=2，E是侧棱PC上的动点．
18．已知双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，点P是抛物线y2=4x上的一个动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=-1的距离之和的最小值为$\sqrt{6}$，则该双曲线的方程为（ ）
| A． | $\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{3}$=1 | B． | y2-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1 | C． | $\frac{{y}^{2}}{4}$-x2=1 | D． | $\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{2}$=1 |
15．“a＞b”是“3a＞2b”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |