Question

已知函数f(x)＝2a·4^x－2^x－1.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；

(2)若f(x)有零点，求a的取值范围．

Answer 1

解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4^x－2^x－1.

令f(x)＝0，即2·(2^x)²－2^x－1＝0，解得2^x＝1或2^x＝－(舍去)．

∴x＝0，∴函数f(x)的零点为x＝0.      --------------------------4

(2)解法一：若f(x)有零点，则方程2a·4^x－2^x－1＝0有解----------------6

于是2a＝

＝()^x＋()^{x                                            ----------------------------------------------------------}10

∵()^x>0，∴2a>－＝0，即  a>0.------------------------------12

解法二：令t＝2^x，∵x∈R，∴t>0，

则方程2at²－t－1＝0在(0，＋∞)上有解． ------------------------6

①当a＝0时，方程为t＋1＝0，即t＝－1<0，

此时方程在(0，＋∞)无解．-----------------------------------------8

②当a≠0时，令g(t)＝2at²－t－1，

若方程g(t)＝0在(0，＋∞)上有一解，则ag(0)<0，即－a<0，解得a>0.

若方程g(t)＝0在(0，＋∞)上有两解，则

无解

                    -------------------------------------------10

综上所述，所求实数a的范围是(0，＋∞)． --------------------------12