Question

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为．且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为．
（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A₁，A₂，A₃，且，A₁，A₂，A₃相互独立，，甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率．
（Ⅱ）由三人中只有甲破译出密码的概率为．知，由此能求出p=．
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，p（X=0）=．p（X=1）=．p（X=2）=．p（X=3）=．由此能求出X的分布列和期望．
解答：解：记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A₁，A₂，A₃，且，A₁，A₂，A₃相互独立，
则，
（Ⅰ）甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率
=1-（1-）（1-）=．
（Ⅱ）∵三人中只有甲破译出密码的概率为．
∴，
解得p=．
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，
p（X=0）=（1-）（1-）（1-=．
p（X=1）=+=．
p（X=2）=+=．
p（X=3）=．
∴X的分布列是

X	0	1	2	3
P

EX==．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解（1）题时要注意对立事件的运用，解（2）题时要注意方程思想的运用，解（3）题时要认真审题，避免漏解．