Question

11．（1）计算${27^{-\frac{1}{3}}}+lg0.01-ln\sqrt{e}+{3^{{{log}_3}2}}$
（2）已知x+x^-1=3，求$\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}}}{{{x^2}-{x^{-2}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简得答案；
（2）由已知分别求出${x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}$、x²-x^-2的值，则答案可求．

解答 解：（1）${27^{-\frac{1}{3}}}+lg0.01-ln\sqrt{e}+{3^{{{log}_3}2}}$
=$（{3}^{3}）^{-\frac{1}{3}}+lg1{0}^{-2}-ln{e}^{\frac{1}{2}}+2$
=$\frac{1}{3}-2-\frac{1}{2}+2$
=-$\frac{1}{6}$
（2）∵x+x^-1=3，
∴${x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}}$=$\sqrt{x+{x}^{-1}+2}=\sqrt{5}$，
x²-x^-2=（x+x^-1）（x-x^-1）=$±3\sqrt{（x+{x}^{-1}）^{2}-4}=±3\sqrt{5}$，
∴$\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}}}{{{x^2}-{x^{-2}}}}$=$±\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=±\frac{1}{3}$．

点评 本题考查有理指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．