Question

正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为a,侧棱长为a.

(1)建立适当的坐标系，并写出A、B、A₁、C₁的坐标；
(2)求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角.

Answer 1

(1) A(0，0，0），B(0，a,0）,A₁(0,0,a),C₁(－a) ,(2) AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角为30°

　(1)以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA₁所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB₁A₁垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.
由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A₁(0,0,a),C₁(－a).
(2)取A₁B₁的中点M，于是有M(0，a），连AM，MC₁，
有=(－a,0,0）,且=(0，a,0）,=(0,0a)
由于·=0，·=0，所以MC₁⊥面ABB₁A₁，
∴AC₁与AM所成的角就是AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角.
∵=



所以所成的角，即AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角为30°.