Question

如图，三棱锥中，底面，，，点、分别是、的中点.

（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ) 略  (Ⅱ)   

：方法（一）
(Ⅰ)由已知可得为等腰直角三角形，则．
由平面，平面，则．
又，，
则平面，由平面，得．
由中位线定理得，，于是，
又，所以平面．         
(Ⅱ)已证明平面，又平面，则．
已证明，又，则平面．
因为平面，平面，所以，．
由二面角的定义，得为二面角的平面角．
设，可求得，，
在中，可求得，在中，可求得，
在中，由余弦定理得，．则为所求．
方法（二）

如图建立空间直角坐标系，设，
可求出以下各点的坐标：
A（2，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），
P（0，0，2），E（1，0，1），F（1，1，1）
(Ⅰ)，，
有，，
于是，，又，
则平面．       
(Ⅱ)，有，，
于是，，由二面角定义，向量与的夹角为所求．
，所以为所求．