Question

已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的取值范围是_________．

Answer 1

若二面角α－AB－β的大小为锐角，则过点P向平面作垂线,设垂足为H.
过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH，则就是所求二面角的平面角. 根据题意得，由于对于β内异于O的任意一点Q，都有
∠POQ≥45°，∴，设PO=，则
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，而在中应有
PC>PH ,∴显然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能为锐角。
即二面角的范围是。