Question

如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(

4

5

，-

3

5

)，∠AOC=α．
（Ⅰ）求圆O的半径及C点的坐标；
（Ⅱ）若|BC|=1，求

3

cos2

α

2

-sin

α

2

cos

α

2

-

3

2

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出C的坐标．
（Ⅱ）依题意△BOC是正三角形，化简表达式，结合∠BOC即可求解．

解答：解：（Ⅰ）半径r=|OB|=

( 4 5 )2+(- 3 5 )2

=1，（2分）
点C的坐标为（cosα，sinα）；（5分）
（Ⅱ）由（1）可知|OB|=|OC|=|BC|=1，∴∠BOC=

π

3

（6分）

3

cos2

α

2

-sin

α

2

cos

α

2

-

3

2

=

3

(

cosα+1

2

)-

1

2

sinα-

3

2

=

3

2

cosα-

1

2

sinα=sin(

π

3

-α)=sin∠BOA=

3

5

（13分）

点评：本题考查二倍角的正弦、余弦，同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．