Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-2x，g（x）=log_ax．如果函数h（x）=f（x）+g（x）没有极值点，且h′（x）存在零点．
（1）求a的值；
（2）判断方程f（x）+2=g（x）根的个数并说明理由；
（3）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）图象上的两点，平行于AB的切线以P（x₀，y₀）为切点，求证：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）因为h′（x）存在零点，所以h′（x）=0有解，又因为h（x）没有极值点，所以在h′（x）=0的解的两侧函数的导数符号相同，所以对于方程h′（x）=0，满足△=0，就可求出a的值．
（2）方程f（x）+2=g（x）可变形为

1

2

x2-2x+2=lnx，把方程的左右两边都看做是函数解析式，则只需在同一坐标系中作出这两个函数的图象，图象有几个交点，则方程f（x）+2=g（x）有几个不相等的实数根．
（3）因为以P（x₀，y₀）为切点的切线平行于直线AB，所以切线斜率等于直线AB的斜率，即

1

x0

=

y1-y2

x1-x2

，就可把
x₀用A，B点的横坐标x₁，x₂表示，令t=

x2

x1

，则x0-x 1=

x1(t-1-lnt)

lnt

，利用导数判断函数y=t-1-lnt
的单调性，就可得到x₁＜x₀＜x₂．

解答：解：（1）依题意h(x)=

1

2

x2-2x+logax，
h，(x)=x-2+

1

xlna

=

x2lna-2xlna+1

xlna

∵h（x）无极值，h′（x）存在零点
∴x²lna-2xlna+1=0的△=0，
即4（lna）²-4lna=0，解得a=e或1，
∵g（x）=log_ax，
∴a≠1，
∴所求的a的值为e．
（2）方程f（x）+2=g（x）可变形为

1

2

x2-2x+2=lnx
在同一坐标系中作出函数y=

1

2

x2-2x+2和函数y=lnx的图象，如右图，观察图象，有两个交点，
∴方程f（x）+2=g（x）有两个不相等的实数根．
（3）由已知

1

x0

=

y1-y2

x1-x2

，
所以x0=

x1-x2

y1-y2

x0-x1=

x1-x2

y1-y2

-x1=

x2-x1-x1(y2-y1)

y2-y1

=

x2-x1-x1ln x2 x1

ln x2 x1

设t=

x2

x1

得：x0-x 1=

x1(t-1-lnt)

lnt

（t＞1）．构造函数y=t-1-lnt
当t≥1时，y/=1-

1

t

=

t-1

t

≥0，所以函数y=t-1-lnt在当t≥1时是增函数
所以t＞1时，t-1-lnt＞0，所以x₀-x₁＞0得x₀＞x₁成
同理可得x₀＜x₂成立，所以x₁＜x₀＜x₂

点评：本题主要考查函数极值与导数的关系，以及图象法判断方程解的个数，以及借助导数判断函数单调性的应用，属于综合题．