Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=a^x+log_ax（a＞1），则方程f（x）=0的实根的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、5

Answer 1

分析：在同一坐标系下分别画出函数 y=-log_ax 和y=log

1

a

x 的图象，由图象求出方程根的个数；再根据奇函数图象的对称性以及f（0）=0，可求出方程的根的个数．

解答：解：当x＞0时，f（x）=a^x+log_ax（a＞1），令f（x）=0可得 a^x=-log_ax=log

1

a

x，
在同一坐标系下分别画出函数 y=-log_ax 和y=log

1

a

x 的图象，如图所示：
可知两个图象只有一个交点，即方程f（x）=0在（0，+∞）上只有一个实根，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＜0时，方程f（x）=0也有一个实根，
又∵f（0）=0，
∴方程f（x）=0的实根的个数为3．
故选：C．

点评：本题主要考查奇函数图象的性质应用，即根据题意画出一部分函数的图象，由交点的个数求出对应方程根的个数，利用图象的对称性和“f（0）=0”求出方程根的个数，注意解答本题时容易漏f（0）=0，属于中档题．