Question

如图,在长方体?ABCD—A₁B₁C₁D₁中,?AB=AA₁=a,BC=,M是AD的中点,N是B₁C₁的中点.

(1)求证:A₁、M、C、N四点共面;

(2)求证:BD₁⊥CM;

(3)求A₁B和平面A₁MCN所成角的大小.

Answer 1

(1)证明:如图,取BC的中点E,可证AECM是平行四边形;

AENA₁也是平行四边形;由CM∥AE∥A₁N,可证A₁、M、C、N四点共面.

(2)证明:连结BD,

在Rt△CDM和Rt△BCD中,,

∴Rt△CDM∽Rt△BCD,可证BD⊥CM,

∵BD是BD₁在底面ABCD上的射影,

∴BD₁⊥CM.

(3)解:连结BC₁,同样可以证明BC₁⊥CN.

∵BC₁是BD₁在侧面BCC₁B₁上的射影,

∴BD₁⊥CN.

∵CN∩CM=C,

∴BD₁⊥平面A₁MCN.

连结A₁C,交BD₁于F,则A₁F是A₁B在平面A₁MCN上的射影,则∠BA₁F即是A₁B和平面A₁MCN所成的角,

∵tan∠BA₁C=.∴∠BA₁F=45°.