Question

已知函数.（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若数列 ，求数列的通项公式；

（Ⅲ）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）=+=+=1

                  

（2）∵     ①

∴ ②

由（Ⅰ），知=1

∴①+②，得       

（3）∵ ，∴                            

∴，       ①

，  ②

①－②得                 

即   要使得不等式恒成立，即对于一切的恒成立，

法一：对一切的恒成立，

令，

∵在是单调递增的,  ∴的最小值为

∴＝,   ∴.

法二： .   设

当时，由于对称轴直线，且

，而函数在 是增函数，     ∴不等式恒成立

即当时，不等式对于一切的恒成立.