Question

已知直线y=kx+m与抛物线y²=2x交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），若OM⊥AB于M，则点M的轨迹方程为（ ）
A．x²+y²=2
B．（x-1）²+y²=1
C．x²+（y-1）²=1
D．（x-1）²+y²=4

Answer 1

【答案】分析：根据向量数量积的运算性质，算出，可得OA⊥OB．由此设抛物线上A、B两点的坐标，根据直线方程的两点式化简，得到直线AB经过定点C（2，0）．因此满足OM⊥AB的点M在以OC为直径的圆上，结合圆方程的求法即可算出本题答案．
解答：解：∵
∴两边平方，整理得，可得OA⊥OB
设A（，t），可得B（，-）
∴直线AB的方程为，
令y=0，得x=2，因此直线AB经过定点C（2，0）
∵OM⊥AB于M，
∴M的轨迹是以OC为直径的圆，圆心为（1，0），半径r=1
此圆的方程为（x-1）²+y²=1，即为所求的轨迹方程
故选：B
点评：本题在抛物线中求动点M的轨迹方程，着重考查了抛物线的几何性质、圆的标准方程和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．