Question

如图(1)，从边长为2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，如图(2)，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t．

(1)把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域；

(2)x为何值时，容积V有最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)V＝x(2a－2x)2＝4(a－x)2·x． 　　∵≤t，∴0＜x≤，∴函数V＝V(x)＝4x(a－x)2的定义域为(0，]，显然＜a，∴＝4(x－a)(3x－a)，由＞0，得0＜x＜或x＞a，此时V(x)为增函数；由＜0，得＜x＜a，此时V(x)为减函数． 　　①当≤，即t≥时，在x＝时，V有最大值； 　　②当＜，即0＜t＜时，在x＝时，V有最大值． 　　分析：根据边长x，建立一个关于体积的目标函数，利用导数时，注意x的取值范围．