Question

已知长方形ABCD，AB=6，BC=7/4。以AB的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy。

（1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆C的标准方程；

（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

Answer 1

（1）

（2）（i）时，点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。

（ii）时，方程为，

当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆。

解析:

（1）

（2）设，其中。由已知及点在椭圆上可得

。整理得，其中。

（i）时，化简得，所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。

（ii）时，方程变形为，其中，

当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆。