Question

19．已知函数f（x）=x²+alnx．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数$g（x）=f（x）+\frac{2}{x}$在[1，+∞）上单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导数的不等式，求出函数的递减区间即可；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性分离参数a，问题转化为a≥$\frac{2}{x}$-2x²在[1，+∞）上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）由题意知，函数的定义域为（0，+∞），
当a=-2时，f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
当f′（x）＜0时，x∈（0，1），
故f（x）的单调递减区间是（0，1）．…（6分）
（2）由题意得g′（x）=2x+$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
函数g（x）在[1，+∞）上是单调函数．
①若g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，
则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{2}{x}$-2x²在[1，+∞）上恒成立，
设φ（x）=$\frac{2}{x}$-2x²，
∵φ（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴φ（x）_max=φ（1）=0，∴a≥0．…（10分）
②若g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，
则g′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，不可能．
∴实数a的取值范围为[0，+∞）．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．