Question

证明方程2^x＝3有且只有一个根．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵2x＝3，∴x＝log23．这说明方程有一个根． 　　下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的． 　　假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)， 　　则＝3，＝3．两式相除，得＝1． 　　如果b1－b2＞0，则＞1，这与＝1相矛盾； 　　如果b1－b2＜0，则＜1，这也与＝1相矛盾． 　　因此b1－b2＝0，则b1＝b2．这就同b1≠b2相矛盾． 　　如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾． 　　故2x＝3有且只有一个根． 　　点评：“有且只有”表示“存在且唯一”．因此，在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑，而证明唯一性时，通常使用反证法．