题目内容

已知向量
a
=(sinx，1)，
b
=(1，cosx)
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，-
π
2
＜x＜
π
2
，求x；
（Ⅱ）求m=|
a
+
b
|的最大值，并指出当m取得最大值时x的集合．
分析：（Ⅰ）利用向量垂直的充要条件，因为
a
⊥
b
，所以
a
•
b
=sinx+cosx=0，从而有tanx=-1，根据-
π
2
＜x＜
π
2
，可求x；
（Ⅱ）根据
.
a
=(sinθ，1)，
.
b
=(1，cosθ)，可得|
a
+
b
|=
(sinx+1)2+(1+cosx)2
=
3+2
2
sin(x+
π
4
)
利用三角函数求范围的方法，可求最大值，及当m取得最大值时x的集合．
解答：解：（Ⅰ）若
a
⊥
b
，则
a
•
b
=sinx+cosx=0，（2分）
由此得  tanx=-1-
π
2
＜x＜
π
2
，所以  x=-
π
4
；（4分）
（Ⅱ）由
.
a
=(sinθ，1)，
.
b
=(1，cosθ)）得|
a
+
b
|=
(sinx+1)2+(1+cosx)2
=
3+2
2
sin(x+
π
4
)
（5分）
当sin(x+
π
4
)=1时，|
a
+
b
|取得最大值，即当x=
π
4
+2kπ，k∈Z时，m=|
a
+
b
|有最大值
3+2
2
=
2
+1
此时，x的集合是{x|x=2kπ+
π
4
，k∈Z}（4分）
点评：本题的考点是平面向量的综合，主要考查向量与三角函数的结合，关键是利用向量垂直的充要条件，三角函数求范围的方法．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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