题目内容
在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.
思路分析：本题可以根据等比数列的性质将a2·an-1=128化为a1·an=128.然后结合a1+an=66解得a1和an,再列出关于a1和q及n的方程解之即可.
解:∵a1an=a2an-1=128,又a1+an=66,
∴a1、an是方程x2-66x+128=0的两根.
解方程得x1=2,x2=64.
∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1.
若a1=2,an=64,由
=126,得2-64q=126-126q.
∴q=2.由an=a1qn-1,得2n-1=32.
∴n=6.
若a1=64,an=2,同理可求得q=
,n=6.
综上所述,n的值为6,公比q=2或
.
思维启示：(1)等比数列中的五个量a1,q,an,n,Sn知三可求二.利用方程思想把已知量和待求量用a1和q表示出来,建立方程组求解,此法称为“基本量法”.
(2)运用Sn=
公式时,首先应验证q是否等于1.
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