题目内容
【题目】如图，四棱锥
的底面
为平行四边形，
，
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
取
中点
，连接
、
，由已知可证
，
，可得
平面
，可证
。
由已知可得
是等腰三角形，分别以
、、为
、
、
轴建立空间直角坐标系
，求出面
与面
的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角
的余弦值。
解：（1）取中点，连接、.
由
，
知，，.
又
∴平面，
又
平面，∴.
（2）法一：由题可得
，
，故
，所以
.
所以可以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
，
.
设平面的一个法向量为
，则
即
令
得
.
同理可得平面的一个法向量为
.
∴
.
又二面角为锐二面角所以二面角的余弦为.
法二：设二面角
，
的大小分别为
，
，则
，
，
∴
.
即二面角
的余弦为
.
而二面角与二面角大小互补、故二面角的余弦为.
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