Question

4．（1）求证：$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$．
（2）设a，b，c∈（0，+∞），求证：三个数中a+$\frac{1}{b}$，c+$\frac{1}{a}$，b+$\frac{1}{c}$至少有一个不小于2．

Answer 1

分析 （1）直接法不易求证，可用分析法进行证明．
（2）假设a+$\frac{1}{b}$，c+$\frac{1}{a}$，b+$\frac{1}{c}$都小于2，相加可得 a+$\frac{1}{b}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$＜6．再结合基本不等式，引出矛盾，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$和2$\sqrt{5}$都是正数，
若证$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$
只需证：（$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$）²＜（2$\sqrt{5}$）²，
整理得：$\sqrt{21}$＜5，
即证：21＜25，
∵21＜25当然成立，
∴原不等式成立…（6分）
（2）证明：假设a+$\frac{1}{b}$，c+$\frac{1}{a}$，b+$\frac{1}{c}$三个数都小于2
即 a+$\frac{1}{b}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$＜6．
∵a，b，c∈（0，+∞），∴a+$\frac{1}{a}$≥2  b+$\frac{1}{b}$≥2  c+$\frac{1}{c}$≥2
∴a+$\frac{1}{b}$+c+$\frac{1}{a}$+b+$\frac{1}{c}$≥6，矛盾
说明假设是错误的，原命题成立…（12分）

点评 用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．