Question

设A、B两点的坐标是(－1，－1)、(3，7)，求到A、B两点距离相等的点的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：坐标法．设点M(x，y)是所求轨迹上的任意一点． 　　点M满足的集合为：P＝{M||MA|＝|MB|}． 　　由两点距离公式得 　　＝ 　　整理可得x＋2y－7＝0　　① 　　下面证明方程①是到两定点A、B距离相等的点的轨迹方程． 　　(1)由上面求方程的过程可知，曲线上每一点的坐标都是方程①的解； 　　(2)设M1(x1，y1)是方程①的解，即x1＋2y1－7＝0，∴x1＝7－2y1． 　　而|M1A|＝ 　　＝ 　　＝ 　　|M1B|＝ 　　＝ 　　＝， 　　∴|M1A|＝|M1B|，即点M1在曲线上． 　　由(1)、(2)可知，方程①是到两定点距离相等的点的轨迹方程． 　　解法二：由条件知：|MA|＝|MB|． 　　由线段垂直平分线的定义知，点M在以A、B为端点的线段的垂直平分线上． 　　而kAB＝＝2．∴kl＝－，A、B的中点为P(1，3)． 　　则M的轨迹方程为y＝－(x－1)＋3，即x＋2y－7＝0． 　　解法三：由解法二知，点M在以A、B为端点的线段的垂直平分线l上． 　　而lAB：＝，即2x－y＋1＝0． 　　故设l的方程为x＋2y＋m＝0． 　　又∵l过AB的中点P(1，3)，∴m＝－7． 　　故l：x＋2y－7＝0． 　　分析：根据坐标法的求曲线方程的一般步骤求解，或者由定义法确定曲线的形状，再求基本量求解．