Question

8．把二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）⁸的展开式中所有的项重现排成一列，其中有理项都互不相邻的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 由二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）⁸展开式的通项公式求出r=0，4，8时为有理项，其余6项为无理项；
再把展开式的9项全排列，6个无理项全排，把3个有理项插孔即可，从而求出对应的概率值．

解答 解：由二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）⁸展开式的通项公式得：
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{8-r}$•${（\frac{1}{2\root{4}{x}}）}^{r}$=${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${C}_{8}^{r}$•${x}^{\frac{16-3r}{4}}$．
可知当r=0，4，8时，为有理项，其余6项为无理项．
∴展开式的9项全排列共有${A}_{9}^{9}$种，
有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项在形成的7个空中插孔，有${A}_{6}^{6}$•${A}_{7}^{3}$种．
∴有理项都互不相邻的概率为P=$\frac{{A}_{6}^{6}{•A}_{7}^{3}}{{A}_{9}^{9}}$=$\frac{5}{12}$．
故选：D．

点评 本题考查了二项式系数的性质和排列组合知识以及古典概型的概率计算问题，是中档题目．