Question

四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=

6

，
E为PC的中点．
（1）求二面角E-AD-C的正切值；
（2）在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD成立？若存在，求出MC的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连AC、BD交于点O，连OE，过点O作OF⊥AD于点F，连EF，可得∠EFO就是所求二面角的平面角，解三角形EFO，即可得到二面角E-AD-C的正切值；
（2）过点B作BM⊥PC于点M，连DM，可得△PBC≌△PDC，进而得到DM⊥PC，BM⊥PC，由线面垂直的判定定理，即可得到PC⊥平面MBD．

解答：解：（1）连AC、BD交于点O，连OE，则OE∥PA，从而OE⊥平面ABCD，
过点O作OF⊥AD于点F，连EF，则易证∠EFO就是所求二面角的平面角．
由ABCD是菱形，且∠ABC=120°，AB=1，得OF=

3

4

，
又OE=

1

2

PA=

6

2

，
∴在Rt△OEF中，有tan∠EFO=

OE

OF

=2

2

．（5分）
（2）证明：过点B作BM⊥PC于点M，连DM，
则∵△PBC≌△PDC，∴DM⊥PC，
∴PC⊥平面MBD，在△PBC中，PB=

7

，BC=1，PC=3，
∴  cos∠PCB=

1+9-7

2•1•3

=

1

2

∴  MC=BCcos∠PCB=

1

2

，
∴在PC上存在点M，且MC=

1

2

时，有PC⊥平面MBD．（10分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是求出二面角的平面角，（2）的关键是证明DM⊥PC，BM⊥PC．