Question

【题目】已知函数.

（1）若在定义域内单调递增，求的值；

（2）讨论的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）若，无零点；若，有两个零点；若或，有一个零点.

【解析】

（1）求导得，设，则在上单调递增，根据、、与分类讨论，找到令恒成立的的取值范围即可得解；

（2）分为、、、、和分类讨论，根据（1）求得的单调性结合零点存在性定理，即可得解.

（1）由题意得的定义域为，

，

设，则，在上单调递增.

若，则，所以当，，当，；

若，，，

所以在上有唯一零点，设为，

所以当，，当，，当，；

若，，所以当，，当，；

若，则，，，

所以在上有唯一零点，设为，

所以当，，当，，当，；

综上所述，若在其定义域内单调递增，则.

（2）若，在上有唯一零点；

由（1）知，时，在上单调递减，在上单调递增，

所以最小值为，

若，则，即，无零点；

若，则，有唯一零点；

若，则，，在上有唯一零点，

又 ，，

所以，

所以在上有唯一零点，所以在上有两个零点；

设，，在上单调递增，

所以，即，所以，所以；

若，当时，，

，

由（1）知在上单调递增，所以在上有唯一零点；

若，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

当时，，

因为，所以，，

所以在上有唯一零点；

综上，若，无零点；若，有两个零点；若或，有一个零点.