题目内容

已知函数f（x）满足 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及其定义域；
（Ⅱ）写出f（x）的单调区间并证明．

解：（Ⅰ）令 $\text{[math]}$ ，--------
则 $\text{[math]}$ ，-------
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．-----
（Ⅱ）函数f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）单调递减．-----
设x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），x₁＜x₂，△x=x₂-x₁＞0，-------
$\text{[math]}$ ．--------
当x₁＜x₂＜0时，x₁x₂＞0，又△x＞0，∴△y＜0；
同理，当0＜x₁＜x₂时△y＜0，
∴函数f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）单调递减．-------
分析：（Ⅰ）令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，求得 $\text{[math]}$ ，从而求得函数f（x）的解析式及定义域
（Ⅱ）设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，求得f（x₂）-f（x₁）＜0，可得函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减．同理可证函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，函数的单调性的判断和证明，属于基础题．

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