Question

如下图,已知平面α∩β=a,　bβ,a∩b=A,且cα,c∥a,求证:b、c为异面直线.?

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Answer 1

思路分析:反证法.假设b、c共面,则有两种情况:①b与c相交;②b与c平行.?

       证法一:假设b、c不是异面直线,即b、c为共面直线,则b、c为相交直线或平行直线.

       (1)若b∩c=P,已知bβ,cα,又α∩β=a,则P∈bβ,且P∈cα,从而,交点P一定在平面α、β的交线上(公理二),即P∈a,于是a∩c=P,这与已知条件a∥c矛盾.因此b、c相交不成立.?

       (2)若b∥c,已知a∥c,则a∥b(公理四),这与已知条件a∩b=A矛盾,因此b、c平行也不能成立.?

       综合(1)(2)可知b、c为异面直线.?

       证法二:假设b、c不是异面直线,即假设直线b、c在同一个平面γ内,则b γ,cγ,在直线b上任取一点B(不同于A,B α);从而,平面γ一定经过B点与直线c.?

       又∵A∈a,a∥c,?

       ∴Aα.于是c与c外一点A的平面就是α,而这样的平面只能有一个.从而,直线b、c都在平面α内,但B∈bα,这与Bα矛盾.因此b、c为异面直线.?

       温馨提示:立体几何中异面直线问题、共面问题常用反证法.反证法中要正确推理,将反设列入已知条件,按一般逻辑推理程序和法则推理.推理中没有用到“反设”就不是反证法.